為什么學術界的人即使有一個簡單但正確的證明，也要尋求嚴格的證明？

在數(shù)學及相關領域，有兩個核心原因：

“簡單”的證明可能是錯誤的
找到一個嚴格的證明將教會我們一些新的東西

直覺可能是錯誤的第一個原因很重要，因為我們真的不想出錯.大多數(shù)數(shù)學思想都建立在數(shù)學中的其他思想之上，如果一個人不成立，整個領域可能會傾覆。

“簡單”但不嚴格的證明的問題在于，我們的直覺很容易完全錯誤。數(shù)學嚴謹性背后的全部要點——背后的全部要點所有的數(shù)學也許——是給我們一種外部方式來檢查和挑戰(zhàn)我們的直覺。這在某些領域比其他領域更重要（人類發(fā)現(xiàn)概率和無窮大非常不直觀），但它在任何地方都相關。我們根本不能依靠直覺本身。

這是一個錯誤證明的例子[數(shù)學]\pi = 4[/數(shù)學]在社交媒體上反彈。這個想法是，我們可以取一個周長為 4 的正方形來界定一個直徑為 1 的圓，去掉它的角以獲得一個更接近圓但仍然具有相同周長的形狀，然后無限重復這個過程來得到一個圓。

這是我在上面找到的一個稍微有點模因的插圖數(shù)學SE，最初是從最好的.（如果您看到圖表，就更容易理解發(fā)生了什么。）

這個證明簡單明了明顯錯誤.我們知道這一點，因為我們碰巧知道[數(shù)學]\pi\ne 4[/數(shù)學]，但如果我們不知道這一點，我們會在哪里？

這里的實際錯誤非常微妙（看看數(shù)學SE一個解釋的線程），而我們發(fā)現(xiàn)它的唯一方法是嘗試使論證變得嚴謹。更一般地說，只有這樣我們才能合理理解[數(shù)學]\pi[/數(shù)學]它與圈子的關系是通過嚴格的論證。

嚴謹?shù)淖C明教會我們更多我提出的第一個原因對于非數(shù)學家來說很容易理解。我的意思是，可能需要舉幾個例子來了解直覺是如何讓我們誤入歧途的，但很明顯為什么我們不想犯錯。（除非你深入研究形而上學或大陸哲學，但我并不在乎。）

但我想說這不是激勵數(shù)學家的主要因素。我的意思是，它是重要的，數(shù)學家比大多數(shù)人更重視正確性，但還有其他方法可以知道我們對某事是正確的。

我最近去看了一部關于孿生素數(shù)猜想的紀錄片。演出結束后，我與一位著名的數(shù)論家進行了交談，他對這樣的猜想有一個有趣的看法：我們已經知道它們是真的.我們知道這些猜想和我們所知道的一樣成立任何事物在數(shù)學之外，以及我們知道明天太陽會升起。我們進行了大量模擬，處理了粒子物理學家羨慕的大量數(shù)據(jù)，進行了在任何物理科學中都不可行的實驗，而這些猜想一直成立。

這是大量的證據(jù)，在任何其他情況下都具有壓倒性的說服力。幾乎所有你在學校里學到的算術以外的事實，出于必要，支持較少.

在數(shù)學之外不可能真正存在嚴格的數(shù)學水平。抽象地說，這個級別的事實是在數(shù)學中可達到的，并不會使其他證據(jù)在絕對意義上變得不那么令人信服。

那么為什么要特意去證明這些基本上已經知道的事情呢？

答案是我們不關心證明只是為了告訴我們猜想是否正確：我們關心一個嚴格的證明來闡明關于問題的結構.在這種情況下，證明將幫助我們理解數(shù)字本身的結構.我們將學習一些全新的東西。一些長期存在的猜想的證明幾乎肯定會依賴于根本新穎的想法，因為如果不這樣做，那么現(xiàn)在就會有人發(fā)現(xiàn)它1。反過來，這將導致新的抽象、新的探究領域和數(shù)學家需要解決的新問題。

在很大程度上，這就是數(shù)學的實際進展方式：證明不提供已知問題的二元答案，而是幫助建立對數(shù)學的理解結構體數(shù)學對象及其行為。數(shù)學證明不僅僅是其結論的證據(jù)，以至于我們可能根本不關心結論。

這有點難以理解，因為這里的“結構”是一種模糊的概念。當我說這句話時，很難確切地確定我的意思，實際上，它會因領域而異。借用拉姆斯菲爾德的術語，猜想是已知的未知數(shù)，而我們更關心發(fā)現(xiàn)未知未知數(shù)，這就是嚴格證明的真正作用。很難準確解釋這些未知的未知數(shù)是-那時它們只是未知的——但你可以明白為什么它們會有趣和重要。

腳注1 好吧，這個推理有點可疑。讓我想起經濟學家的笑話：