數(shù)學(xué)研究適合今天嗎？其中任何一個都適用嗎？

讓我們談?wù)?2007 年的金融危機(jī)和熱帶幾何。（我最初是通過 Quora 了解到這種聯(lián)系的，感謝回答[1]經(jīng)過Vamsi Pritham Pingali.)

這場危機(jī)的確切原因很復(fù)雜，經(jīng)濟(jì)學(xué)家會更好地描述。然而，發(fā)生的關(guān)鍵事情之一是美國的房價突然暴跌，帶走了由這些房屋的抵押貸款支持的任何金融工具（例如捆綁貸款組合）的價值。后一種影響不再只是美國的問題——它是整個全球金融市場的危機(jī)，因為銀行和其他金融機(jī)構(gòu)突然發(fā)現(xiàn)自己瀕臨破產(chǎn)。

由此產(chǎn)生的問題之一是嚴(yán)重的信貸緊縮——從銀行獲得貸款變得更加困難。對此，政府可能的解決方案是購買高風(fēng)險資產(chǎn)，例如上述抵押貸款支持證券，或以這些高風(fēng)險資產(chǎn)作為抵押提供貸款。這將為銀行提供繼續(xù)提供貸款所需的資金。

2007年秋天，英格蘭銀行試圖實施這種解決方案：他們想以這類有毒資產(chǎn)作為抵押提供貸款。問題在于準(zhǔn)確確定他們必須提供的費率；有許多不同的機(jī)構(gòu)涉及許多不同種類的資產(chǎn)，因此不可能給出“一刀切”的定價類型。因此，銀行決定進(jìn)行拍賣。在四次嘗試失敗后，當(dāng)時的銀行行長聯(lián)系了牛津大學(xué) Edgeworth 經(jīng)濟(jì)學(xué)教授 Paul Klemperer，看看他是否可以設(shè)計一個有效的系統(tǒng)。重要的限制之一是這次拍賣必須有效快速地，只需幾分鐘——否則，對其中一些有毒資產(chǎn)的估值可能會影響市場對其他一些資產(chǎn)的估值。

這促使 Klemperer 教授發(fā)明了產(chǎn)品組合拍賣[2]，至今仍被英格蘭銀行廣泛使用[3]，并且也已在其他途徑中得到采用和擴(kuò)展。此次拍賣背后的基本理論由 Paul Klemperer 和 Elizabeth Baldwin 在他們的合著論文中得到了適當(dāng)?shù)陌l(fā)展和概括分析需求的熱帶幾何學(xué).

這是一個很好的介紹這個帳戶中的另一個大玩家：熱帶幾何[4].

熱帶幾何是一個非常年輕的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，直到 1990 年代后期才真正鞏固，并且許多非常重要的工作始于 2000 年代。（如果你讀到這篇文章并心想“那不是年輕的——那是 20 年前的事！”，請考慮在學(xué)校里，你仍然在學(xué)習(xí) 2000 多年前發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)，除非你上大學(xué)，否則你不到 200 年前，我真的不會學(xué)到任何東西。在數(shù)學(xué)世界里，20 年是一閃而過。）我很偶然地遇到了它——當(dāng)我在讀研究生時，山姆佩恩[5]在那里，他有一個相當(dāng)強(qiáng)大的熱帶幾何組。當(dāng)時我對代數(shù)幾何知之甚少（我仍然知之甚少，但當(dāng)時我知道的更少）所以當(dāng)時對我來說似乎是深奧的。然而，基本面其實并沒有那么難。

我們首先定義熱帶半環(huán).作為一個集合，這是實數(shù)的集合[數(shù)學(xué)]\mathbb{R}[/math]， 和...一起[數(shù)學(xué)]-\infty[/數(shù)學(xué)].我們在這個集合上定義了兩個操作：

[數(shù)學(xué)]\begin{align*} x \oplus y &= \max\{x,y\} \\ x \otimes y &= x + y。\end{align*} \tag*{}[/math]

這些運算的行為與實數(shù)上加法和乘法的通常定義非常相似：

1. [數(shù)學(xué)]\oplus[/數(shù)學(xué)]和[數(shù)學(xué)]\otimes[/數(shù)學(xué)]是聯(lián)想的： 對所有人[數(shù)學(xué)]x,y,z[/數(shù)學(xué)]在[數(shù)學(xué)]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數(shù)學(xué)]x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z[/math]和[數(shù)學(xué)]x \otimes (y \otimes z) = (x \otimes y) \otimes z[/math].
2. [數(shù)學(xué)]\oplus[/數(shù)學(xué)]和[數(shù)學(xué)]\otimes[/數(shù)學(xué)]有身份：[數(shù)學(xué)]-\infty[/數(shù)學(xué)]是加性恒等式和[數(shù)學(xué)]0[/數(shù)學(xué)]是乘法恒等式，也就是說對于所有[數(shù)學(xué)]x[/數(shù)學(xué)]在[數(shù)學(xué)]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數(shù)學(xué)]x \oplus -\infty = -\infty \oplus x = x[/math]和[數(shù)學(xué)]x \otimes 0 = 0 \otimes x = x[/math].
3. [數(shù)學(xué)]\oplus[/數(shù)學(xué)]和[數(shù)學(xué)]\otimes[/數(shù)學(xué)]是可交換的： 對所有人[數(shù)學(xué)]x,y[/數(shù)學(xué)]在[數(shù)學(xué)]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數(shù)學(xué)]x \oplus y = y \oplus x[/math]和[數(shù)學(xué)]x \otimes y = y \otimes x[/math].
4. [數(shù)學(xué)]\otimes[/數(shù)學(xué)]分發(fā)超過[數(shù)學(xué)]\oplus[/數(shù)學(xué)]： 對所有人[數(shù)學(xué)]x,y,z[/數(shù)學(xué)]在[數(shù)學(xué)]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數(shù)學(xué)]x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)[/math]和[數(shù)學(xué)](x \oplus y) \otimes z = (x \otimes z) \oplus (y \otimes z)[/math].

換句話說，熱帶半環(huán)是一個交換半環(huán)[6]，一個非常非常類似于交換環(huán)的對象[7]，但我們不堅持每個元素都應(yīng)該有一個加性逆。（也就是說，對于任何[數(shù)學(xué)]x[/數(shù)學(xué)]，不需要存在[數(shù)學(xué)]y[/數(shù)學(xué)]以至于[數(shù)學(xué)]x \oplus y[/數(shù)學(xué)]是加性恒等式——確實，對于熱帶半環(huán)，很容易看出這樣的[數(shù)學(xué)]y[/數(shù)學(xué)]存在當(dāng)且僅當(dāng)[數(shù)學(xué)]x = -\infty[/數(shù)學(xué)].)

熱帶半環(huán)在計算機(jī)科學(xué)中自然出現(xiàn)——我之前實際上寫過關(guān)于它如何用于計算各種進(jìn)程的等待時間[8].（好吧，從技術(shù)上講，我使用了分鐘那個答案中的熱帶半環(huán)，而不是最大限度我在這里使用的是熱帶半環(huán)，但兩者實際上是同構(gòu)的，所以這并沒有太大區(qū)別。）“熱帶”一詞實際上是對居住在巴西的計算機(jī)科學(xué)家 Imre Simon 的致敬。

在代數(shù)幾何中，熱帶半環(huán)的使用方式略有不同。在經(jīng)典代數(shù)幾何中，您可能會得到一個多項式，如[數(shù)學(xué)]y^3 + 4 x y + x^3 + x + 2[/數(shù)學(xué)]你可以通過考慮它的零集來研究它，在這種情況下是一條曲線。

更一般地說，這就是所謂的代數(shù)變體。幾何和代數(shù)之間存在著美妙的相互作用——學(xué)習(xí)一個可以洞察另一個，如果你定義一切都恰到好處，兩者之間就真的沒有任何區(qū)別了。在熱帶幾何中，您定義熱帶化這樣的代數(shù)變體。首先，您使用多項式并替換[數(shù)學(xué)]+[/數(shù)學(xué)]和[數(shù)學(xué)]\times[/數(shù)學(xué)]和[數(shù)學(xué)]\oplus[/數(shù)學(xué)]和[數(shù)學(xué)]\otimes[/數(shù)學(xué)].所以，在我們的例子中，我們有

[數(shù)學(xué)]\begin{align*} 4 xy + x^3 + x + 2 &= 4 \cdot x \cdot y + 1 \cdot x \cdot x \cdot x + 1\cdot x + 2 \\ &\rightquigarrow \max\left\{4 + x + y, 1 + 3x, 1 + x, 2\right\}。\end{align*} \tag*{}[/math]

現(xiàn)在，考慮所有無法區(qū)分的地方。

在左邊，我畫了熱帶曲線對應(yīng)于[數(shù)學(xué)]4 x y + x^3 + x + 2[/數(shù)學(xué)];正是對應(yīng)的熱帶函數(shù)無法微分的地方。這里還有幾個例子。第一，熱帶化[數(shù)學(xué)]y^3 + 5 x y + x^3 + 6 x^2 y + 3[/數(shù)學(xué)].

二、熱帶化[數(shù)學(xué)]6 x^3 + 5 x^2 y^2 + 4 y^2 + 3 y^3 + 2 y[/數(shù)學(xué)].

您可能會注意到熱帶曲線在許多方面比代數(shù)曲線簡單得多。令人驚奇的是：古典圖片和熱帶圖片之間實際上存在深刻的相互作用。您可以從熱帶化中學(xué)到很多關(guān)于曲線的信息，反之亦然。代數(shù)幾何中有很多很多定理都具有類似的性質(zhì)；相反，有一些關(guān)于代數(shù)幾何的定理已經(jīng)通過研究熱帶圖片得到了證明。

可愛——但這與拍賣或經(jīng)濟(jì)學(xué)有什么關(guān)系？為了幫助回答這個問題，這里有一張來自 Baldwin 和 Klemperer 前述論文第 24 頁的圖表。

嗯，這肯定看起來很熟悉！這是 Baldwin 和 Klemperer 的基本見解：商品需求可以通過熱帶曲線來描述，您可以使用熱帶幾何的結(jié)果來更好地了解潛在的經(jīng)濟(jì)學(xué)。直接引用他們論文的介紹：

經(jīng)濟(jì)學(xué)家主要通過關(guān)注直接效用函數(shù)來考慮代理人的需求。相反，我們首先關(guān)注代理需要不同捆綁包的價格空間區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)。我們的關(guān)鍵觀察是，以這種方式劃分價格空間精確地創(chuàng)建了幾何結(jié)構(gòu)，這是在最近開發(fā)的、非歐幾里得的代數(shù)幾何分支中研究的，稱為“熱帶幾何”。因此，我們可以使用凸幾何和熱帶幾何的工具，例如代理人在價格空間中的需求幾何結(jié)構(gòu)與同一代理人在數(shù)量空間中的需求之間的對偶性，以獲得關(guān)于需求的新見解。在價格空間和數(shù)量空間中需求的雙重表示之間來回移動可以提高我們對兩者的理解。

例如，在價格空間中匯總個人需求要容易得多，但將總需求轉(zhuǎn)換回數(shù)量空間允許一個強(qiáng)大的定理，該定理包含并擴(kuò)展了許多關(guān)于何時存在競爭均衡的現(xiàn)有結(jié)果。

另一方面，如果我們從數(shù)量空間中的（直接）估值函數(shù)開始，我們將價格空間轉(zhuǎn)換為對偶的方法很快就會揭示需求的關(guān)鍵屬性。與使用傳統(tǒng)方法相比，使用我們的熱帶幾何視角可以更容易地理解需求理論中的許多現(xiàn)有結(jié)果，并且可以更有效地開發(fā)。

當(dāng)然，這只是現(xiàn)代數(shù)學(xué)如何繼續(xù)推動物理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)和其他通常被認(rèn)為更實用的研究領(lǐng)域的一個例子。我選擇這個特別的插圖是因為：a）它非常出乎意料，b）我以前很少寫過經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用，c）很難想象比一個有助于減少重大金融災(zāi)難的負(fù)面影響。但我也可以寫一篇關(guān)于使用算術(shù)幾何來理解橢圓曲線之間的同構(gòu)性的文章，以及如何將其視為現(xiàn)代密碼系統(tǒng)的抗量子替代的基礎(chǔ)。我可以寫關(guān)于如何使用辮子和代數(shù)拓?fù)錇闄C(jī)器人設(shè)計更好的尋路方法，或者如何在計算化學(xué)和語言識別中開發(fā)應(yīng)用類別理論，或者群體理論結(jié)果如何指向如何構(gòu)建良好的計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)（其實我已經(jīng)有了[9][10][11]）。

所以不要試圖告訴我現(xiàn)代數(shù)學(xué)是無用的和深奧的。這顯然不是真的。

腳注

寶寶起名 起名