解決數(shù)學(xué)問題所需的研究可能需要數(shù)年時間。怎么樣，為什么？

為什么不呢？即使非常簡短，非常簡單的陳述也可以有非常長的證明。

讓我證明這是真的（如果你愿意接受上述信仰，你可以跳過幾段）?？紤]所有關(guān)于算術(shù)的陳述的集合，這些陳述是可證明的（例如，來自皮亞諾公理），并且可以使用不超過[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]在修改了表達(dá)此語言的語言之后，符號。這些陳述中的每一個都有假設(shè)證明;讓我們考慮最短的證據(jù)。好吧，因為只有有限數(shù)量的符號，無論你選擇哪種語言，只能有多少這樣的語句，所以其中一個具有最長的最短證明。讓我們稱之為證明的長度[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]。關(guān)鍵在于任何可證明是真實且不超過的陳述[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]符號必須有最多的證明[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]符號很長。

現(xiàn)在，假設(shè)[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]由一些可計算的函數(shù)限制在上面[數(shù)學(xué)] F（N）[/數(shù)學(xué)]- 也就是說，有一些算法，如果你給它[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]作為輸入，它將返回一個保證大于的整數(shù)[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]。例子可能是[數(shù)學(xué)] N ^ 2 [/數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] N ^ 5 - N + 1 [/ math]，[數(shù)學(xué)] 2 ^ N [/數(shù)學(xué)]， 等等。那么，現(xiàn)在讓我們選擇一個任意的陳述[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]關(guān)于算術(shù)。我們測量它的長度是多少，并將其寫為[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]。然后我們計算[數(shù)學(xué)] F（N）[/數(shù)學(xué)]，然后我們檢查所有長度不超過的證明[數(shù)學(xué)] F（N）[/數(shù)學(xué)]，并檢查它們中是否有任何證明[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]。如果我們找到它，那就太好了 - 我們已經(jīng)證明了這一點[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]是真的。如果我們沒有找到它，那么我們可以得出結(jié)論，公理不能證明這一點[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]是真的。

但是，存在一個問題：使用哥德爾編號，您可以構(gòu)造一個語句[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]這句話說“這句話沒有比證明更短的證據(jù)[數(shù)學(xué)] F（100）[/數(shù)學(xué)]“聲明本身明顯短于[數(shù)學(xué)] 100 [/數(shù)學(xué)]符號很長，所以這將是一個矛盾！由此，我們必須得出結(jié)論[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]增長快于任何可計算的功能。它最終將遠(yuǎn)大于[數(shù)學(xué)] N ^ 2 [/數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] N R個5 /數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] 2 ^ N [/數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] 2 ^ {2 ^ N} [/數(shù)學(xué)]，還有你能想到的其他任何東西。

因此，我們得出一個單一的，無可否認(rèn)的結(jié)論：即使是相對較短的陳述也可以擁有巨大的，令人費解的長證據(jù)。（甚至在你考慮到人類極不可能找到給定語句的最短證據(jù)之前，因為我們將要搜索可讀的東西。）宇宙中這個不可改變的事實告訴你蠻力接近試圖找到數(shù)學(xué)陳述的證據(jù)是完全注定的;它實際上永遠(yuǎn)不會是一種可行的方法。

鑒于這是不可能的，有哪些選擇？或多或少，有兩個：你可以非常聰明，或者你可以非常耐心。當(dāng)一些數(shù)學(xué)家對如何大大簡化問題有一些敏銳的見解時，有一些定理得到證實，并且通過一些直覺的飛躍提出了正確解決方案所需的路徑。其他定理被證明是由于許多數(shù)學(xué)家花了很多時間來理解這個陳述如何適應(yīng)一些更大的框架，并且隨著時間的推移建立一個通用的結(jié)果體，一點一點地將所需語句的難度降低到零。在實踐中，它通常最終成為這兩種方法的某種組合。但是，您可能會注意到，這兩種方法都無法快速發(fā)揮作用。直覺的自發(fā)跳躍需要幾個月，幾年甚至幾代先前的工作，試圖在最終成為可能之前理解問題。理論建設(shè)在其發(fā)展方式上更為一致，但它也需要大量時間來消化，確定哪些問題是正確的研究，正確衡量目前可解決的問題，以及哪些問題應(yīng)留給下一代深思。

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